期望值(Expected Value)

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如果想要粗略估计随机变数 \(X\) 的大小,期望值 \(E(X)\) 是一个常用的代表。
而期望值定义是:

若随机变数 \(X\) 的机率分布如下
期望值(Expected Value)则随机变数 X 的期望值 \(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + \cdots + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \)

换言之,随机变数 \(X\) 的期望值是 \(X\) 的所有可能值的加权平均数。

在期望值的单元中,常有下列的问题:
袋中装有6张大小形状相同的卡片,编号1号的有1张,2号有2张,3号有3张。
自袋中一次取出卡片1张,若卡片上的编号即为所得分数,求得分的期望值。

解法如下

令 \(X\) 为抽出卡片的得分,可能取值为 \(1,2,3\),其机率分布为

期望值(Expected Value)

 期望值 \(E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{2}{6} + 3 \times \frac{3}{6} = \frac{{1 + 4 + 9}}{6} = \frac{{14}}{6} = \frac{7}{3}\)

只要依照期望值的定义,就能顺利求得答案。

不过,若将问题进一步延伸为

自袋中一次取出卡片2张,若卡片上的编号即为所得分数,求得分和的期望值。

事实上,遵循期望值的定义依然可解

令 \(X\) 为抽出卡片的得分和,可能取值为 \(3,4,5,6\),其机率分布为

期望值(Expected Value)

期望值 \(E(X) = 3 \times \frac{2}{{15}} + 4 \times \frac{4}{{15}} + 5 \times \frac{6}{{15}} + 6 \times \frac{3}{{15}} = \frac{{70}}{{15}} = \frac{{14}}{3}\)

然而,通常高中教师还会再进一步提供速解:由于取出 \(1\) 张卡片的期望值为 \(\frac{7}{3}\),因此,取出 \(2\) 张卡片的期望值为 \(2\times \frac{7}{3}=\frac{14}{3}\)。儘管答案总是正确,但仔细思量常有不安之感。若是取 \(2\) 张卡片的方式为取完 \(1\) 张放回,再取 \(1\) 张,两次动作彼此是独立的,上述解法就显得自然而然。不过,若是一次取出 \(2\) 张的话,为何仍然会成立呢?

事实上,这个结果是恆成立,因为机率论告诉我们:
当两个随机变数 \(X,Y\) 不相互独立时,\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) 仍然成立。

下面就用离散型随机变数为例说明:

设 \(X,Y\) 为两个离散型随机变数,

其结合机率质量函数为  \(P(X = {x_i},Y = {y_j})\),\(i,j=1,2,3,\cdots\)

则 \(P(X = {x_i}) = \sum\limits_j {P(X = {x_i},Y = {y_j})} \);\(P(Y = {y_j}) = \sum\limits_i {P(X = {x_i},Y = {y_j})} \)

因此,\(\begin{array}{ll}E(X + Y) &= \sum\limits_i {\sum\limits_j {({x_i} + {y_j})P(X = {x_i},Y = {y_j})} }\\&= \sum\limits_i {\sum\limits_j {{x_i}P(X = {x_i},Y = {y_j})} }+\sum\limits_i {\sum\limits_j {{y_j}P(X = {x_i},Y = {y_j})} } \\&= \sum\limits_i {{x_i}\sum\limits_j {P(X = {x_i},Y = {y_j})} }+ \sum\limits_j {{y_j}\sum\limits_i {P(X = {x_i},Y = {y_j})} }\\&=\sum\limits_i {{x_i}P(X = {x_i}) + } \sum\limits_j {{y_j}P(Y = {y_j}) = E(X) + E(Y)} \end{array}\)

换言之,离散型随机变数期望值的本质是和分,至于连续型随机变数期望值的本质则是积分,故加性(additivity)都会继续成立,不会受到随机变数有无独立的影响。

事实上,这个性质也能推广到 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为 \(n\) 个随机变数,

则有 \(E({X_1} + {X_2}+\cdots+{X_n})= E({X_1})+E({X_2})+\cdots+E({X_n})\)。

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